3D游戏中的数学 - 四元数

Guo Dong

Guo Dong

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四元数（quaternion）在3D游戏中主要用于表示旋转。

四元数 \(q = [q_x, q_y, q_z, w]\) 看起来像是一个四维向量（但并非向量）。

单位长度（unit-length）四元数（\(|q| = 1\)）用于表示3D旋转，本文只考虑单位四元数。

单位四元数可以看作一个三维向量 \(\boldsymbol{q}_V\) 外加一个标量 \(q_S\)。

以单位向量 \(\boldsymbol{a}\) 为旋转轴，\(\theta\) 为旋转角度，单位四元组 \(\boldsymbol{q}\) 表示为：

$$ \begin{align} q & = [\boldsymbol{q}_V \quad q_S] \\ & = [\boldsymbol{a}\sin\frac{\theta}{2} \quad \cos\frac{\theta}{2}] \end{align} $$

四元数运算

Grassman 乘法

实际上四元数有多种乘法，这里只讨论 Grassman 乘法。

多个四元数相乘表示组合。

$$ p q = [ (p_S\boldsymbol{q}_V + q_S\boldsymbol{p}_V + \boldsymbol{p}_V\times\boldsymbol{q}_V) \quad (p_S q_S - \boldsymbol{p}_V\bullet\boldsymbol{q}_V) ] $$

逆四元数

四元数 \(q\) 的逆记为 \(q^{-1}\)。可以将逆四元数理解为反向操作。

$$q q^{-1} = [0 \quad 0 \quad 0 \quad 1]$$

共轭四元数（conjugate）记为 \(q^{\ast}\)。

$$q^\ast = [-\boldsymbol{q}_V \quad q_S]$$

$$q^{-1} = \frac{q^{\ast}}{|q|^2}$$

由于我们只考虑单位四元数（\(|q| = 1\)），所以：

$$q^{-1} = q ^\ast = [-\boldsymbol{q}_V \quad q_S] \qquad (当\ |q| = 1)$$

这意味着针对单位四元数可以快速求逆。

$$(p q)^\ast = q^\ast p^\ast$$

$$(p q)^{-1} = q^{-1} p^{-1}$$

四元数应用于向量旋转

首先将三维向量 \(\boldsymbol{v}\) 转化为四元数形式 \(v\)：

$$v = [\boldsymbol{v} \quad 0]$$

通过单位四元数 \(q\) 对向量 \(\boldsymbol{v}\) 旋转得到 \(v'\)：

$$v' = rotate(q, \boldsymbol{v}) = q v q^{-1} = q v q^\ast$$

最后从结果四元数 \(v\) 中提取结果向量 \(\boldsymbol{v}\)。

多个四元数组合：

$$q_{net} = q_3 q_2 q_1$$

$$ \begin{align} v' & = q_3 q_2 q_1\ v\ q_1^{-1} q_2^{-1} q_3^{-1} \\ & = q_{net}\ v\ q_{net}^{-1} \end{align} $$

四元数与变换矩阵

四元数可以与旋转变换矩阵（3x3形式）相互转化。

这里的变换矩阵为仅包含3x3旋转部分的矩阵。

设四元数 \(q = [x\ y\ z\ w]\) ，其对应的旋转矩阵为 \(\boldsymbol{R}\)

$$ \boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy+2zw & 2xz-2yw \\ 2xy-2zw & 1-2x^2-2z^2 & 2yz+2xw \\ 2xz+2yw & 2yz-2xw & 1-2x^2-2y^2 \end{bmatrix} $$

同样的，给定旋转矩阵 \(\boldsymbol{R}\)，可以找到对应的四元数 \(q\)。代码引用自 Gamasutra [Nick Bobic]。

void matrixToQuaternion(const float R[3][3], float q[/*4*/]) {

    float trace = R[0][0] + R[1][1] + R[2][2];

    // check the diagonal
    if (trace > 0.0f) {
        float s = sqrt(trace + 1.0f);
        q[3] = s * 0.5f;
        float t = 0.5f / s;
        q[0] = (R[2][1] - R[1][2]) * t;
        q[1] = (R[0][2] - R[2][0]) * t;
        q[2] = (R[1][0] - R[0][1]) * t;
    } else {
        // diagonal is negative
        int i = 0;
        if (R[1][1] > R[0][0]) i = 1;
        if (R[2][2] > R[i][i]) i = 2;
        
        static const int NEXT[3] = {1, 2, 0};
        int j = NEXT[i];
        int k = NEXT[j];
        
        float s = sqrt((R[i][j] - (R[j][j] + R[k][k])) + 1.0f);
        
        q[i] = s * 0.5f;
        
        float t;
        if (s!=0.0) t = 0.5f / s; 
        else t = s;
        
        q[3] = (R[k][j] - R[j][k]) * t;
        q[j] = (R[j][i] + R[i][j]) * t;
        q[k] = (R[k][i] + R[i][k]) * t;
    }
}

线性插值

常用于动画系统、动作系统、Camera系统。

在 \(q_A\) \(q_B\) 之间进行插值，\(\beta\) 为过程百分比：

$$ \begin{align} q_{LERP} & = LERP(q_A, q_B, \beta) \\ & = \frac{(1-\beta)q_A+\beta q_B}{|(1-\beta)q_A+\beta q_B|} \end{align} $$

四元数可以看作是四维超球体上的点，LERP 实际上是沿着超球体的弦进行插值，而非超球体的表面。这导致使用 LERP 时四元数的变化速度（角速度）不固定，而是两端快中间慢。

相比 LERP，SLERP 是沿着超球体的表面进行插值。

$$SLERP(p, q, \beta) = w_p p + w_q q$$

$$ w_p = \frac{\sin(1-\beta)\theta}{\sin \theta} \qquad w_q = \frac{\sin \beta\theta}{\sin \theta} $$ $$ \begin{align} \cos\theta & = p\bullet q = p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z + p_w q_w \\ \theta &= \cos^{-1}(p \bullet q) \end{align} $$

一般来说，SLERP 相对开销较大，但存在可降低开销的优化算法。实际应用中，可以通过对实际代码进行性能分析来确定使用 SLERP 或 LERP。

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